Здравствуйте,
В целом, нет, не может. В Вашу личную жизнь он вмешиваться не вправе. А если место жительства детей определено с Вами, то соответственно, проживать в собственности детей Вы вправе. Согласие бывшего супруга на это не требуется. Также как и его согласие на проживание с Вами и Вашими детьми Вашего сожителя.
Однако, отец имеет равные права на своих детей как и Вы. В том числе и по защите прав и интересов детей ( ст 64 СК РФ). И если у бывшего супруга мотив — чтобы сожитель с Вами и с детьми не проживал, то он может пойти через опеку. Обратиться туда, что мол сожитель нарушает своим проживанием права детей, ещё что-нибудь придумает. А по любому заявлению опека должна проводить проверку. Вас будут вызывать, проводить беседу для начала. Никто Вашему водителю проживать с Вами не запретит. Но по его заявлениям будут проверять. Ну это единственное, что может быть. Если не догадается пойти в опеку, то живите. Ребенок быстро привыкнет. Если обстановка в семье будет хорошей.
Само собой, мать проживает вместе с несовершеннолетними детьми, если имеет место договоренность или решение суда.
Если отец не является собственником, то он не может распоряжаться имуществом.
По этому поводу нет разрешающей нормы но и нет запрещающей.
То есть если мать и детей устраивает такое положение вещей, то избранник матери может с ними проживать
Отец может в данном случаи только защищать права детей, если это идет в разрез с их интересами.
Влиять на личную жизни бывшей супруги он никак не может.
В том числе в вопросе ее проживания с другим мужчиной.