Подскажите, пожалуйста, какой федеральный закон и какая статья регулируют этот процесс?

Включение иностранного гражданина в состав участников общества с ограниченной ответственностью (ООО), в котором первоначально был один учредитель, регулируется Федеральным законом от 8 февраля 1998 г. № 14-ФЗ «Об обществах с ограниченной ответственностью» (далее — Закон об ООО).

Основные положения, регулирующие данный процесс:

Варианты включения нового участника в ООО:

Принятие в состав общества третьего лица с увеличением уставного капитала (п. 2 ст. 19 Закона об ООО). В этом случае общее собрание участников принимает решение об увеличении уставного капитала на основании заявления третьего лица (иностранца) о принятии его в общество и внесении вклада. Если в ООО один учредитель, решение принимает он единолично.
Переход доли участника к третьему лицу (п. 2 ст. 21 Закона об ООО). Это происходит при продаже или ином отчуждении доли существующего участника иностранному лицу.
Процедура принятия нового участника с увеличением уставного капитала:

Иностранное лицо подает заявление о принятии в общество и внесении вклада, в котором указывает размер и состав вклада, порядок и срок его внесения, а также желаемый размер доли в уставном капитале.
Единственный участник (учредитель) принимает решение об увеличении уставного капитала и о внесении соответствующих изменений в учредительные документы, включая определение номинальной стоимости и размера доли нового участника.
Решение об увеличении уставного капитала и внесении изменений в устав подлежит нотариальному удостоверению (п. 3 ст. 17 Закона об ООО).
В течение месяца после внесения вклада в полном размере подаются документы для государственной регистрации изменений в учредительных документах в регистрирующий орган (п. 4 ст. 5 Федерального закона от 8 августа 2001 г. № 129-ФЗ «О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей»).
Изменения вступают в силу с момента их государственной регистрации.
Особенности при участии иностранного лица:

Иностранный гражданин может быть участником ООО наравне с российскими лицами, однако необходимо учитывать требования законодательства о государственной регистрации и возможные ограничения в зависимости от отрасли деятельности.
При подаче документов иностранный участник должен предоставить документы, подтверждающие его личность и правоспособность, а также, если документы оформлены на иностранном языке, их нотариально заверенный перевод на русский язык.
Подпись иностранного участника на заявлении о государственной регистрации подлежит нотариальному удостоверению либо удостоверению консульским учреждением РФ за рубежом. При удостоверении подписи иностранным нотариусом может потребоваться проставление апостиля или легализация документа (ст. 9 Федерального закона № 129-ФЗ, ст. 1 Основ законодательства РФ о нотариате от 11.02.1993 № 4462-1).
Если новый участник — иностранное юридическое лицо:

В случае если иностранное юридическое лицо становится единственным участником ООО, оно должно иметь в своем составе не менее двух учредителей (акционеров), что предусмотрено п. 2 ст. 7 Закона об ООО.
Для государственной регистрации необходимо представить выписку из реестра иностранного юридического лица с нотариально заверенным переводом, а также документы, подтверждающие его правоспособность.
Нотариальное удостоверение сделок по отчуждению доли:

Если новый участник приобретает долю путем перехода от существующего участника, сделка уступки доли должна быть совершена в простой письменной форме, если уставом не предусмотрена нотариальная форма (п. 6 ст. 21 Закона об ООО).
В случае если в ООО один участник, нотариальное удостоверение сделки обязательно (п. 11 ст. 21 Закона об ООО).
Регистрация изменений в ЕГРЮЛ:

После принятия иностранного лица в состав участников ООО необходимо подать заявление о внесении изменений в Единый государственный реестр юридических лиц (ЕГРЮЛ) в регистрирующий орган.
Заявление подается с приложением решения о принятии нового участника и документов, подтверждающих внесение вклада.
Рекомендации:

Включение иностранного участника в состав ООО требует соблюдения всех процедур, включая нотариальное удостоверение решений и сделок, а также правильное оформление и подачу документов в регистрирующий орган.
В зависимости от специфики деятельности ООО и гражданства иностранного участника могут применяться дополнительные ограничения и требования, в том числе связанные с контролем иностранных инвестиций.