Здравствуйте, может ли взрослый человек, 31 год, закончить 10-11 класс по форме семейного обучения, просто сдавая аттестацию в школе, это бесплатно?

Можно вполне законно, и даже нужно: Конституция в главе 43 определяет, что основное общее образование обязательно. 

В Российской Федерации гарантируется право каждого человека на образование статьей 43 Конституции РФ. Право на образование в Российской Федерации гарантируется независимо от пола, расы, национальности, языка, происхождения, имущественного, социального и должностного положения, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности к общественным объединениям, а также других обстоятельств

С учетом закрепленных гарантий гражданину, желающему получить среднее общее среднее образование не может быть отказано, в том числе в связи с достижением возраста 18 лет или более старшего возраста.
Получить образование можно в вечерней школе (сейчас это, в основном, вечерние классы при обычных школах) или же в режиме самообразования, прикрепившись к школе экстерном.

Оплату за обучение необходимо уточнять в школе, которую вы выбираете.