Здравствуйте!
Трудовой договор перезаключать не нужно, т.к., действительно, он заключен между Вами и организацией.
Генеральный директор (директор) исполняет права и обязанности работодателя, он не является самим работодателем, а только выступает от его имени. Кроме того, сам руководитель также является работником организации, особенности труда которого регулируются главой 43 ТК РФ.
Соответственно, все договоры, которые заключил руководитель в период действия полномочий (в том числе трудовые договоры), по-прежнему являются действительными и не требуют переоформления, перезаключения или заключения дополнительного соглашения с новым генеральным директором (директором).