Но при этом я ничего не писал и не подписывал?

Здравствуйте, Иван,

Нет, так как согласно Указу Президента РФ от 21.09.2022 N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации»:

4. Контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным настоящим Указом.

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_426999/

Данные основания -

а) по возрасту — по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе;

б) по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими;

в) в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы.

Период частичной мобилизации не завершен, окончены только мобилизационные мероприятия.

Соответственно, контракты считаются продленными (продолжают свое действие), вне зависимости от подписания нового контракта военнослужащим.

Желаю удачи,

Здравствуйте, Иван!
Уволиться по основанию окончания контракта или в случае отказа от нового не получиться. 

могу ли я уволится с контракта, если мне его продлили с 02.07.24г

 Дело в том, что в соответствии с  п. 4 Указом Президента РФ от 21.09.2022 N 647 «Об объявлении частичной мобилизации в Российской Федерации»:

4.Контракты о прохождении военной службы, заключенные военнослужащими, продолжают свое действие до окончания периода частичной мобилизации, за исключением случаев увольнения военнослужащих с военной службы по основаниям, установленным настоящим Указом.

Поэтому Ваш контракт продолжает своей действие. 
Согласно п. 5 данного Указа есть следующие основания для увольнения:

а) по возрасту — по достижении ими предельного возраста пребывания на военной службе;

б) по состоянию здоровья — в связи с признанием их военно-врачебной комиссией не годными к военной службе, за исключением военнослужащих, изъявивших желание продолжить военную службу на воинских должностях, которые могут замещаться указанными военнослужащими;

в) в связи с вступлением в законную силу приговора суда о назначении наказания в виде лишения свободы.

При этом согласно  Указу Президента 580 ДСП 03.08.2023, возможно увольнение также при признании ограниченно годным и по семейным обстоятельствам.

Однако,  для этого должно быть дано заключение аттестационной комиссии с учетом задач возложенных на федеральный орган исполнительной власти.  Увольнение происходит приказом руководителя органа исполнительной власти.