Можно ли повлиять на перевод мобилизованного в другую часть вдали от дома

По моей информации да

 В таком случае по общему правилу ст. 15 Положения о порядке прохождения военной службы — он может быть осуществлен без Вашего согласия.

Отказаться от перевода возможно в одном из трех случаев:

а) при невозможности прохождения военной службы в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;
б) при невозможности проживания членов семьи военнослужащего (жена, муж, дети в возрасте до 18 лет, дети-учащиеся в возрасте до 23 лет, дети-инвалиды, а также иные лица, состоящие на иждивении военнослужащего и проживающие совместно с ним) в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;
в) при необходимости постоянного ухода за проживающими отдельно отцом, матерью, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, не находящимися на полном государственном обеспечении и нуждающимися в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).

Если в Вашем случае такого рода обстоятельства отсутствуют — то воспрепятствовать переводу Вы не сможете.

Можно попробовать получить отношение из иной части по месту Вашего жительства и подать рапорт Вашему командованию на перевод по отношению.

Но тут вопрос будет решаться по усмотрению  Вашего командования. Наличие отношения не является безусловным основанием для перевода.

Меня больше интересует каким образом это оспорить или воспрепятствовать, ну или затянуть по максимуму этот процесс

Оспорить возможно при наличии обстоятельств, указанных в статье, когда перевод невозможен:

— при невозможности прохождения военной службы в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

— при невозможности проживания членов семьи военнослужащего (жена, муж, дети в возрасте до 18 лет, дети-учащиеся в возрасте до 23 лет, дети-инвалиды, а также иные лица, состоящие на иждивении военнослужащего и проживающие совместно с ним) в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

— при необходимости постоянного ухода за проживающими отдельно отцом, матерью, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, не находящимися на полном государственном обеспечении и нуждающимися в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).

Других вариантов оспорить не будет.