Что делать, если владею 1/4 квартиры по наследству и родственник предлагает выкуп доли?

Как в данной ситуации оплачиваются коммунальные платежи?

Согласно ст. 249 Гражданского Кодекса РФ:

Каждый участник долевой собственности обязан соразмерно со своей долей участвовать в уплате налогов, сборов и иных обязательных платежей по общему имуществу, а также в расходах и издержках по его содержанию и сохранению.

Вы должны оплачивать коммунальные платежи соразмерно своей доле — 1/4 по тем платежам, которые начисляются исходя из 1 кв.м площади жилого помещения.

 Вы вправе с согласия других сособственников потребовать разделения лицевого счета, а если они не согласны, или УК откажет делить лицевой счет для оплаты, то этот вопрос решается в судебном порядке.

Могу ли за оставить за собой свою долю, пока не определилась что с ней делать?

 Оставить можете, т.к это Ваше право — распоряжаться своей долей или нет. Но если Ваша доля будет признана судом незначительной, и Вы не докажете, что  у Вас есть существенный интерес в её использовании, то судебным решением Ваше право собственности может быть прекращено с выплатой Вам компенсации стоимости Вашей доли.

Могу ли за оставить за собой свою долю, пока не определилась что с ней делать?

 Это ваше право. Вы собственник, поэтому сами решайте, что с долей делать

А вот если второй собственник захочет выкупить вашу долю по ст. 252 ГК РФ, то он это сделать сможет. При этом вы получите свои деньги за долю.

Вы пишите, что

Родственник по адресу наследуемой квартиры отправить мне письмо о предложении выкупа моей доли (в этой квартире не живу и бываю там редко) т.к. это другой город.

Если откажетесь  от продажи  доли родственнику,  он  может конечно  обратиться  в суд  о  принудительном выкупе по рыночной стоимости.

Суд может обязать выплатить Вам компенсацию за долю  лишь в случае  признании Вашей доли незначительной и отсутствии существенного интереса в использовании жилого помещения. (ст.252 ГК РФ).

При этом  отсутствие существенного интереса  в использовании жилого помещения  решается судом   в  каждом конкретном случае на основании   представленных сторонами доказательств

Вопрос о том, имеет ли участник долевой собственности существенный интерес в использовании общего имущества, решается судом в каждом конкретном случае на основании исследования и оценки в совокупности представленных сторонами доказательств, подтверждающих, в частности, нуждаемость в использовании этого имущества в силу возраста, состояния здоровья, профессиональной деятельности, наличия детей, других членов семьи, в том числе нетрудоспособных, и т.д.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ N 6, Пленума ВАС РФ N 8

Какие риски у меня есть?

Если не хотите  продавать свою долю родственнику, Ваши риски они связаны, как с его  обращением  в суд, так  и принятия решения судом.

Каким будет решения суда, в Вашем случае   непонятно.

ранее он  проживал в наследственной квартире? зарегистрирован там по месту жительства?