Добрый день! Если мать ребенка не является собственником квартиры, не прописана в ней и не проживает, её согласие на регистрацию дополнительных лиц в этой квартире не требуется. Поскольку собственниками являются отец и несовершеннолетний сын, решение о регистрации других лиц принимается собственниками, то есть в данном случае только отцом.
Для регистрации новых жильцов (если речь идет о временной регистрации) достаточно согласия одного из собственников, если они не возражают. Если же речь идет о постоянной регистрации, органы могут запросить письменное согласие от всех собственников (т.е., в данном случае от отца). Мать ребенка, которая не имеет права собственности и не проживает в квартире, не имеет юридического права блокировать регистрацию.