Добрый день, Альфия. В данной ситуации скорее всего Вам придется обращаться в суд, (правда первоначально все-таки рекомендую направить претензию) с исковым заявлением о признании сложившихся отношений между сторонами трудовыми и взыскании задолженности по заработной плате и пособие по временной нетрудоспособности.
Статья 16 Трудового кодекса РФ:
Трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен.
В данном случае Вам лучше обратиться к юристу, занимающемуся трудовыми спорами, и собрать доказательства, подтверждающие факт сложившихся трудовых отношений (отчеты о проделанной работе, переписка с работодателем и пр.), а также документы, подтверждающие нетрудоспособность.