И как это происходит и сколько по времени занимает?

Здравствуйте, Анна!

Информации для ответа не достаточно. Если родители ребенка в браке — это одна история, если отцовство не установлено (родители не в браке) — уже другая. 

Свидетельство о рождении выдается в органе, зарегистрировавшем рождение ребенка.

Если Вы еще не обращались в ЗАГС Казахстана, то по соглашению с отцом ребенка имеете право обратится для регистрации рождения либо в ЗАГС Казахстана (РК), либо в консульство РФ в РК, либо в консульство Таджикистана (РТ) в РК.

Обратите внимание, что свидетельство о рождении не является документом, подтверждающим гражданство, в случаях, когда родители имеют разное гражданство. Однако, при выдаче свидетельства о рождении после регистрации рождения может быть одновременно выдан документ о наличии / отсутствии гражданства страны, органом которой произведена регистрация рождения.

Вам следует проконсультироваться в уполномоченных органах Таджикистана и получить документ, подтверждающий наличие или отсутствие у ребенка гражданства Таджикистана. Гражданства РК у него точно нет, но, возможно, потребуется и об этом получить «бумажку», для того, чтобы определить, имеет ли право ваш ребенок на гражданство РФ по рождению.

1. Ребенок приобретает гражданство Российской Федерации по рождению, если на день рождения ребенка:

...

4) один из его родителей имеет гражданство Российской Федерации, а другой родитель является иностранным гражданином (при условии, что ребенок родился за пределами Российской Федерации и не приобрел гражданство (подданство) иностранного государства по рождению);

При наличии у ребенка гражданства РТ, гражданство РФ по рождению он уже не сможет приобрести, только по вашему заявлению (кстати — без права на материнский капитал).

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).