Сгорают ли дни отпуска при переходе с контракта на бессрочный трудовой договор?

Добрый вечер, Кирилл!

Если со 02.02.2024 с Вами был заключен один трудовой договор, по истечении срока которого Вас уволили, то при заключении нового бессрочного трудового договора отсчет дней отпуска пошел заново. Работодатель прав.
Согласно ст. 127 ТК РФ при увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.
По срочному трудовому договору Вам должны были либо предоставить дни отпуска либо компенсацию за неиспользованный отпуск при увольнении. Если Вы трудитесь в обычных условиях (не на Севере допустим) и Вам положено 28 дней основного отпуска, то за период со 02.02.2024 по 24.06.2024 Вам должны предоставить отпускные из расчета 2,33 дня в месяц. Т.е. всего за этот период Вам положено 11,67 дней. Если в этот период Вы брали дни за свой счет, то эти дни в расчет не включаются. 
При заключении нового трудового договора трудовой период для расчета отпуск начинает течь заново. Вы заново зарабатываете отпуск.