Водитель не признает этого факта и пишет в объяснительной своему руководителю, что это все неправда и он с улыбкой в дружелюбном тоне сказал "нельзя же так тупить с утра"

Здравствуйте, Мария!

Скажите, эта фраза имела прямое отношение к Вам или к кому-либо из Ваших коллег?

Почему Вы восприняли ее на свой счет?

Сможете чем-то это доказать, согласно ст. 56 ГПК РФ, 59 КАС РФ?

Какие-нибудь Ваши права, свободы и законные интересы были нарушены подобным высказыванием?

Дело в том, что, пока Вы не сможете доказать обратное и также то, что подобное высказывание нарушило именно Ваши права, свободы и законные интересы — шансов на успешное урегулирование вопроса немного.

Не применить здесь ни ст. 5.62 КОАП РФ (Дискриминация) — поскольку именно Ваши права, свободы, интересы не были нарушены, ни ст. 5.61 КОАП РФ (оскорбление), поскольку оно не было направлено конкретно на Вас и не было выражено в неприличной форме.

С Вашей стороны шантажа также нет, поскольку Вы реализуете свои абсолютные права на обращение в государственные органы, лишить Вас этого никто не может. 

А вот если не сможете доказать, что подобное действительно было, к Вам возможен иск в рамках ст. 152 ГК РФ, если это получит огласку в СМИ.

Здравствуйте.

А руководитель теперь обвиняет меня в шантаже и грозит подать в прокуратуру на меня.

 шантажа тут нет, как и какого-либо вымогательства. Ваше право было пригрозить обращением в органы. Даже если он обратится в прокуратуру, то тут состав УК или КоАП  с Вашей точки зрения отсутствует. Если будет в рамках ст. ст. 144-145 УПК РФ проверка, то дайте спокойно объяснение, что это спор лишь о качестве услуг и вс. Вам показалось, что она некачественная и всё.

Здравствуйте, Мария!

Понятия шантажа в уголовном праве нет: есть вымогательство (ст. 163 УК РФ), когда требуют деньги или имущество, угрожая что-то сделать или распространить какие-либо сведения.

Вы денег или имущества не просите: Вы устно озвучили намерение уладить конфликт в досудебном порядке. За это, разумеется, никакой ответственности не полагается.

либо со мной связывается руководитель

 Собственно, чего Вы хотите добиться? Если у Вас есть претензия, излагайте ее письменно, направляйте на юридический адрес перевозчика заказным письмом с описью вложения. Юридический адрес организации — это не секрет, данные можно найти в открытом доступе.