Обязан ли квартирасьемщик, предоставить договор аренды старшей по дому?

Здравствуйте, нет не обязаны. Это ваши отношения с наймодателем и собственником квартиры. Старшей по дому это не касается.  Вопрос о распоряжении имущества это право собственника квартиры. 
Полномочия председателя совета многоквартирного дома прописаны в части 8 статьи 161.1 Жилищного кодекса.

Председатель совета многоквартирного дома:

 
1) до принятия общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме решения о заключении договора управления многоквартирным домом вправе вступить в переговоры относительно условий указанного договора, а при непосредственном управлении многоквартирным домом собственниками помещений в данном доме вправе вступить в переговоры относительно условий договоров, указанных в частях 1 и 2 статьи 164 настоящего Кодекса;

 
2) доводит до сведения общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме результаты переговоров по вопросам, указанным в пункте 1 настоящей части;

3) на основании доверенностей, выданных собственниками помещений в многоквартирном доме, или, действуя без доверенности, в случае наделения его таким полномочием по решению общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме заключает на условиях, указанных в решении общего собрания собственников помещений в данном многоквартирном доме, договор управления многоквартирным домом или договоры, указанные в частях 1 и 2 статьи 164 настоящего Кодекса. По договору управления многоквартирным домом или договорам, указанным в частях 1 и 2 статьи 164 настоящего Кодекса, заключенным председателем совета многоквартирного дома в случае наделения его таким полномочием решением общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме, приобретают права и становятся обязанными все собственники помещений в многоквартирном доме. По договору управления многоквартирным домом или договорам, указанным в частях 1 и 2 статьи 164 настоящего Кодекса, заключенным председателем совета многоквартирного дома в случае наделения его собственниками помещений в многоквартирном доме таким полномочием, удостоверенным доверенностями, приобретают права и становятся обязанными собственники помещений в многоквартирном доме, предоставившие председателю совета многоквартирного дома эти доверенности. Собственники помещений в многоквартирном доме вправе потребовать от управляющей организации, лица, заключившего с председателем совета многоквартирного дома договоры, указанные в частях 1 и 2 статьи 164 настоящего Кодекса, копии договора управления многоквартирным домом и указанных в частях 1 и 2 статьи 164 настоящего Кодекса договоров;

 
4) осуществляет контроль за выполнением обязательств по заключенным договорам оказания услуг и (или) выполнения работ по содержанию и ремонту общего имущества в многоквартирном доме на основании доверенностей, выданных собственниками помещений в многоквартирном доме, или, действуя без доверенности, в случае наделения таким полномочием по решению общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме подписывает акты приемки оказанных услуг и (или) выполненных работ по содержанию и текущему ремонту общего имущества в многоквартирном доме, акты о нарушении нормативов качества или периодичности оказания услуг и (или) выполнения работ по содержанию и ремонту общего имущества в многоквартирном доме, акты о непредоставлении коммунальных услуг или предоставлении коммунальных услуг ненадлежащего качества, а также направляет в органы местного самоуправления обращения о невыполнении управляющей организацией обязательств, предусмотренных частью 2 статьи 162 настоящего Кодекса;

5) на основании доверенностей, выданных собственниками помещений в многоквартирном доме, или, действуя без доверенности, в случае наделения его таким полномочием по решению общего собрания собственников помещений в данном многоквартирном доме выступает в суде в качестве представителя собственников помещений в данном многоквартирном доме по делам, связанным с управлением данным многоквартирным домом и предоставлением коммунальных услуг. Решение общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме о наделении председателя совета многоквартирного дома полномочием по выступлению в суде в качестве представителя собственников помещений в данном многоквартирном доме должно быть оформлено протоколом общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме и содержать перечень споров, связанных с управлением данным многоквартирным домом и предоставлением коммунальных услуг, по которым председатель совета многоквартирного дома вправе выступать в суде в качестве представителя собственников помещений в данном многоквартирном доме, а также перечень процессуальных действий, которые председатель совета многоквартирного дома вправе совершать от имени собственников помещений в многоквартирном доме в целях реализации переданного ему полномочия по выступлению в суде в качестве представителя собственников помещений в данном многоквартирном доме;

 
6) осуществляет принятие решений по вопросам, которые переданы для решения председателю совета многоквартирного дома в соответствии с решением общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме, принятым в соответствии с пунктом 4.3 части 2 статьи 44 настоящего Кодекса.

 
8.1. Общее собрание собственников помещений в многоквартирном доме вправе принять решение о выплате вознаграждения членам совета многоквартирного дома, в том числе председателю совета многоквартирного дома. Такое решение должно содержать условия и порядок выплаты указанного вознаграждения, а также порядок определения его размера. 

9. Совет многоквартирного дома действует до переизбрания на общем собрании собственников помещений в многоквартирном доме или в случае принятия решения о создании товарищества собственников жилья до избрания правления товарищества собственников жилья.

 
10. Совет многоквартирного дома подлежит переизбранию на общем собрании собственников помещений в многоквартирном доме каждые два года, если иной срок не установлен решением общего собрания собственников помещений в данном доме. В случае непринятия в установленный срок на общем собрании собственников помещений в многоквартирном доме решения о переизбрании совета многоквартирного дома полномочия совета многоквартирного дома продлеваются на тот же срок. При ненадлежащем исполнении своих обязанностей совет многоквартирного дома может быть досрочно переизбран общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме. 
11. Для подготовки предложений по отдельным вопросам, связанным с деятельностью по управлению многоквартирным домом, могут избираться комиссии собственников помещений в данном доме, которые являются коллегиальными совещательными органами управления многоквартирным домом.

12. Комиссии собственников помещений в многоквартирном доме избираются по решению общего собрания собственников помещений в многоквартирном доме или по решению совета многоквартирного дома.

13. Общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме может быть принято решение об использовании системы или иной информационной системы с учетом функций указанных систем в деятельности совета многоквартирного дома, председателя совета многоквартирного дома, комиссий собственников помещений в многоквартирном доме в случае их избрания, а также об определении лиц, которые от имени собственников помещений в многоквартирном доме уполномочены на обеспечение деятельности указанных совета, председателя, комиссий.