Здравствуйте, Людмила.
Да, он может не подписывать контракт о прохождении военной службы, это добровольно и не обязательно.
ФЗ О воинской обязанности и военной службе
Статья 32. Контракт о прохождении военной службы
2. В контракте о прохождении военной службы закрепляются добровольность поступления гражданина (иностранного гражданина) на военную службу, срок, в течение которого гражданин (иностранный гражданин) обязуется проходить военную службу, и условия контракта.
Убеждают подписать контракт чтобы по окончанию мобилизации он не смог быть уволенным, демобилизованным.
С уважением! Г.А. Кураев