Добрый день, Елизавета!
В соответствии со ст. 16 ТК РФ трудовые отношения между работником и работодателем возникают также на основании фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя в случае, когда трудовой договор не был надлежащим образом оформлен. Таким образом, между вами и работодателем сложились фактические трудовые отношения. Установление факта трудовых отношений можно произвести в судебном порядке.
Согласно абз. 2 ст. 122 ТК РФ право на использование отпуска за первый год работы возникает у работника по истечении шести месяцев его непрерывной работы у данного работодателя. В вашем случае право на предоставление ежегодного оплачиваемого отпуска возникло.
Таким образом, вы имеете право на отпуск, независимо от соблюдения письменной формы трудового договора. Можно обратиться в суд, в котором отношения будут признаны трудовыми и работодаеля обяжут представить вам отпуск.
Хорошего дня!