На основном месте работы заявления на квалификационную категорию он не писал.вправе ли работодатель руководствуясь приказом внешнего совместителя, повысить размер оплаты работнику?

С учётом моего ответа выше далее:

Приказ Министерства просвещения РФ  от 24 марта 2023 года N 196  «Об утверждении Порядка проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность», также регулирует порядок касающийся квалификационных категорий.

Так, из Приказа и его раздела  III. Аттестация педагогических работников в целях установления первой и высшей квалификационной категории следует:

28. В заявлении в аттестационную комиссию педагогические работники сообщают сведения об уровне образования (квалификации), результатах профессиональной деятельности в организациях, об имеющихся квалификационных категориях,а также указывают должность, по которой они желают пройти аттестацию.

Далее я продолжу в следующем ответе ниже.

С учётом моих ответов выше далее:

Общие положения закрепляет  Федеральный закон от 29.12.2012 N 273-ФЗ  «Об образовании в Российской Федерации» и его  Статья 49. Аттестация педагогических работников, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/eb84e97586cd7e921f895ddee474c032a8f47a5c/

Из статьи следует:

1. Аттестация педагогических работников проводится в целях подтверждения соответствия педагогических работников занимаемым ими должностям… по желанию педагогических работников… в целях установления квалификационной категории.

И Приказ Министерства просвещения РФ  от 24 марта 2023 года N 196  «Об утверждении Порядка проведения аттестации педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность», прямо указывает на проведение   аттестации  педагогических работников в целях установления  квалификационной категории по -  должности.

В соответствии со статьей   ТК РФ Статья 15. Трудовые отношения:

Трудовые отношения — отношения, основанные на соглашении между работником и работодателем о личном выполнении работником за плату трудовой функции (работы по должности в соответствии со штатным расписанием.....

Соответственно, если это аналогичная должность, он имеет право получать  доплату за квалификационную категорию как по внешнему совместительству. атк и по основному месту работы.

Номенклатура должностей утверждена Постановлением Правительства РФ    от 21 февраля 2022 года N 225 «Об утверждении номенклатуры должностей педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность, должностей руководителей образовательных организаций», можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://docs.cntd.ru/document/728250577

Из Постановления следует:

I. Должности педагогических работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность

2. Должности иных педагогических работников

Тренер-преподаватель

При этом, следует учитывать и положения статьи ТК РФ Статья 287. Гарантии и компенсации лицам, работающим по совместительству, можете ознакомиться полностью по следующей ссылке:https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34683/4ed53da761c587b92c4c35ceb5d4cd144db2fb20/

Из статьи следует:

Другие гарантии и компенсации, предусмотренные трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами… предоставляются лицам, работающим по совместительству, в полном объеме.

Свои уточнения Вы также можете писать мне в личный чат, пройдя по ссылке на мой личный профиль:https://pravoved.ru/lawyer/798541/

нажав кнопку «Общаться в чате».