Как и чем подтвердить запрашиваемую сумму?

В части неоднозначного судебного подхода в части утраты или сохранения права потерпевшего на получение возмещение с виновного приведу два противоположных примера из практики.

Определение Первого кассационного суда общей юрисдикции от 09.12.2020 N 88-28162/2020, 2-291/2020

содержащее вывод

Довод кассационной жалобы о том, что заключение соглашения со страховщиком о размере страхового возмещения не лишает его возможности требовать возмещения фактического ущерба с причинителя вреда основан на неверном толковании норм материального права и установленных по делу обстоятельств. Истец добровольно принял решение о заключении соглашения со страховщиком, определив размер страховой выплаты, при этом отказавшись от ремонта транспортного средства, в связи с чем оснований для взыскания материального ущерба сверх суммы, указанной в соглашении не имеется. Указанным обстоятельствам судом апелляционной инстанции дана надлежащая оценка в апелляционном определении.

и 

Определение Третьего кассационного суда общей юрисдикции от 01.12.2021 N 88-19535/2021 в котором изначально также указано, что

Установив указанные обстоятельства, сославшись на положения статей 10, 15, 1064 Гражданского кодекса Российской Федерации, Федеральный закон от 25 апреля 2002 г. N 40-ФЗ «Об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств» (далее — Закон об ОСАГО), суд первой инстанции, с которым согласился суд апелляционной инстанции, пришел к выводу о том, что исковые требования не подлежат удовлетворению, поскольку истец добровольно принял решение о получении страхового возмещения в денежной форме, отказавшись тем самым от ремонта поврежденного транспортного средства, не утратил права требования со страховой организации дополнительных убытков, не лишен возможности потребовать получения в установленном законом порядке полной суммы возмещения, размер которой в данном случае не превысил бы лимита ответственности страховщика, в связи с чем, сославшись на злоупотребление правом, указал, что основания для взыскания в пользу истца каких-либо дополнительных убытков в связи с ДТП с собственника транспортного средства, которое является виновником аварии (ответчика), отсутствуют.

И далее суд указал

Такие выводы сделаны с существенным нарушением норм материального права.
Таким образом, в силу подпункта «ж» пункта 16.1 статьи 12 Закона об ОСАГО потерпевший с согласия страховщика вправе получить страховое возмещение в денежной форме.
Реализация потерпевшим данного права соответствует целям принятия Закона об ОСАГО, указанным в его преамбуле, и каких-либо ограничений для его реализации при наличии согласия страховщика Закон об ОСАГО не содержит.
Получение согласия причинителя вреда на выплату потерпевшему страхового возмещения в денежной форме Закон об ОСАГО также не предусматривает.
Реализация потерпевшим права на получение страхового возмещения в форме страховой выплаты, в том числе и в случае, предусмотренном подпунктом «ж» пункта 16.1 статьи 12 Закона об ОСАГО, является правомерным поведением и соответствует указанным выше целям принятия Закона об ОСАГО, а следовательно, сама по себе не может расцениваться как злоупотребление правом.

Решений второго плана в настоящее время большинство.

Суды начиная с конца 2021 г. начали взыскивать ущерб с виновного лица, основываясь на том, что соглашение лишь регулирует отношения со страховой компанией и не распространяет свое действие на взаимоотношение виновного лица с потерпевшим в части получения последним возмещения вреда.

Вы не лишены права ссылаться на то, что отказавшись от ремонта потерпевший злоупотребил правом  — но при такой позиции, примите во внимание существующую судебную практику.

Также с учетом подобного судебного подхода — если Ваш спор дойдет до суда, в суде Вы можете заявить ходатайство о проведении судебной экспертизы, поставив перед экспертом вопросы, как о сумме возмещения с учетом износа — для переоценки размера выплаты по ОСАГО, так и без износа — чтобы в совокупности уменьшить размер выплаты.

По разрешению дела — вправе обратиться в суд с заявлением о применении отсрочки или рассрочки исполнения решения суда.

И непонятно еще вот что, ведь при направлении на ремонт, а не денежной выплате, страховая не должна учитывать износ и должна полностью покрыть расходы на ремонт (в пределах лимита, разумеется) или я ошибаюсь?

В законе на этот счет указано, что не допускается использование бывших в употреблении или восстановленных комплектующих изделий (деталей, узлов, агрегатов).