И как он может использовать данное заявление против меня?

Если это один ребенок у него, то даже если запишите на него это ему ничего не даст. Если у него есть еще дети, в общей  сложности трое и они все до 16 лет, то четверо детей ему дадут отсрочку от мобилизации. 

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН РФ от 26 февраля 1997 года N 31-ФЗ 

О МОБИЛИЗАЦИОННОЙ ПОДГОТОВКЕ И МОБИЛИЗАЦИИ В РФ 

Статья 18. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации 

1. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации предоставляется гражданам: 

4) имеющим на иждивении четырех и более детей в возрасте до 16 лет или имеющим на иждивении и воспитывающим без матери одного ребенка и более в возрасте до 16 лет (гражданам женского пола, имеющим одного ребенка и более в возрасте до 16 лет, а также в случае беременности, срок которой составляет не менее 22 недель); 

4.1) имеющим жену, срок беременности которой составляет не менее 22 недель, и имеющим на иждивении трех детей в возрасте до 16 лет; 

Анна!

Не думаю, что подтверждение документами наличия у него ребёнка поможет решить вопрос с отсрочкой от призыва по мобилизации, учитывая положения ФЗ «О мобилизационной подготовке и мобилизации в РФ» №31-ФЗ от 26.02.97.

В статье 18 указанного закона сказано, что право на отсрочку от призыва по мобилизации имеют те граждане, у которых на иждивении есть 4 и более детей до 16 лет либо 3 детей и беременная жена со сроком беременности не менее 22 недель.

Наличие одного ребёнка никак не скажется на возможности мобилизовать его, если военкомат примет такое решение, оно может быть реализовано вне зависимости от подтверждения наличия у него ребёнка.

Вам такое развитие событий ничем особым не грозит, но важно понимать, что в случае подтверждения родства он как отец сможет претендовать на участие в воспитании и образовании ребёнка на равных с Вами, все вопросы в отношении ребёнка Вам придётся решать совместно или при участии органа опеки. В то же время, и материальные обязательства по оказанию ребёнку помощи и поддержки у него появятся, при необходимости Вы будете иметь право подать заявление об уплате им алиментов на ребёнка по общим правилам Семейного Кодекса РФ.

Здравствуйте. В соответствии со ст.51 СК РФ родители ребенка могут подать совместное заявление в ЗАГС о записи об отце ребенка или записывается по решению суда.

Якобы это послужит для отсрочки. Возможно ли такое ?

Возможно это обстоятельство — запись об отце ребенка не предоставить отсрочку от мобилизации по этому основанию, 

В соответствии с пп.4 п.1 ст.18 Федеральный закон от 26.02.1997 N 31-ФЗ  «О мобилизационной подготовке и мобилизации в Российской Федерации» 

1. Отсрочка от призыва на военную службу по мобилизации предоставляется гражданам:

… имеющим на иждивении четырех и более детей в возрасте до 16 лет 

У ребенка будет отец в свидетельстве о рождении. Вам как матери ничем это не грозит.