Могу ли я передвигаться на автомобиле, имея только профессиональные права категории С?

Получая ту или иную категорию водительских прав вы тем самым приобретаете право на управление той или иной категорией ТС. 

Поэтому если у вас только категория С и нет категории В, то управлять легковым автомобилем вы права не имеете.

п.1. ст.12.3 КоАП

Управление транспортным средством водителем, не имеющим при себе документов на право управления им, регистрационных документов на транспортное средство,

влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.