Что делать, если ответчик в суде отрицает подписание договора аренды авто с выкупом и заявляет об истечении срока давности?

Добрый вечер!

Обязательно подайте замечания на протокол, если суд эти обстоятельства не отразил.

Вместе с тем, данный факт каким либо образом Вам не поможет для решения именно в Вашу пользу.

Согласно ст.71 ГПК РФ

Письменные доказательства представляются в подлиннике или в форме надлежащим образом заверенной копии.

Подлинные документы представляются тогда, когда обстоятельства дела согласно законам или иным нормативным правовым актам подлежат подтверждению только такими документами, когда дело невозможно разрешить без подлинных документов или когда представлены копии документа, различные по своему содержанию. 

По сути Вам нужен оригинал конечно для суда, тем более раз ответчик данный факт оспаривает.

Вот если бы не оспаривал — тогда другое дело.

Переписки по данным обстоятельствам у вас случайно не сохранилось?

Как вариант подать например заявление в полицию по данному факту, может быть он там займет другую позицию.

При проверке полиция его вызовет для дачи объяснений, может быть там и предоставит иную информацию.

Здравствуйте, Юлия.

Накануне заседания он украл оригинал договора (потому что сожитель). Судья на заседании потребовала оригинал договора. 

может у вас сохранилась переписка с ответчиком в мессенджерах о заключенном договоре и тд? В каком году был заключен договор?

Она сказала подать ему ходатайство. Ознакомилась с протоколом, этого в протоколе нет. Могу ли я подать замечания на протокол, что это произошло в заседании. Или судью только злить? И что делать с оригиналами.

Наоборот, вам не следует обращать внимание на пропуск срока исковой давности, поскольку вам это не выгодно,   согласно 

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)» от 30.11.1994 N 51-ФЗ  —  Статья 199. Применение исковой давности
 

2. Истечение срока исковой давности, о применении которой заявлено стороной в споре, является основанием к вынесению судом решения об отказе в иске.

Касательно оригиналов  — если ответчик их украл у вас, то тут, как вариант заявить в полицию, будет отказной материал, но хотя бы участковый проведет проверку по данному факту, и вы сможете в суде ссылаться на это обстоятельство.