Должен ли он мне предоставить письменное объяснение отказа?

Добрый день.

Нет, письменное объяснение причин отказа в удовлетворении рапорта он предоставлять не должен.

Исходя из требований ст. 15 Положения о порядке прохождения военной службе решение вопроса о переводе военнослужащего отнесено к прерогативе командования.

Наличие у Вас отношения на руках не обязывает его удовлетворять Ваш рапорт.

1. Военнослужащийможет быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую в следующих случаях:
д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

Поэтому как и говорил, поданный Вами рапорт на перевод не является обязательным для удовлетворения, а вопрос о Вашем переводе решается по усмотрению Вашего командования исходя из необходимости обеспечения  боеготовности части.

На этот счет в приказе Министра обороны РФ  от 30.10.2015 N 660
«О мерах по реализации правовых актов по вопросам организации прохождения военной службы по контракту в Вооруженных Силах Российской Федерации»

отмечалось

Командир (начальник) воинской части, в которой проходит военную службу отобранный к назначению на воинскую должность военнослужащий, обязан в течение десяти дней после получения отношения принять по нему решение и уведомить о принятом решении командира (начальника) воинской части, выдавшего отношение.

В данном случае на командование возлагается только обязанность принять решение по отношению, но не гарантирует обязательность Вашего перевода.

Уведомить о принятом решение он должен командование части, выдавшее отношение.