Олег, добрый день.
Очевидную проблему я вижу только одну.
В соответствии со ст.56 Семейного кодекса РФ
1. Ребенок имеет право на защиту своих прав и законных интересов.
Защита прав и законных интересов ребенка осуществляется родителями (лицами, их заменяющими), .......
Ребенок, не будучи Вами усыновленным, юридически для Вас чужой. Поэтому без оформления дополнительно полномочий представлять его в тех же образовательных и медицинских учреждениях, кружках, секциях и т.д. Вы не сможете.
Решить вопрос Вы можете, если Ваша супруга оформит на Вас доверенность у нотариуса (см. ст.182, ст.185, ст.185.1 ГК РФ).
Распространяться особо о том, что по факту ребенок не живет с мамой не стоит.