Можно ли взыскать со страховой компании проценты по кредиту при задержке выплаты?

Ссылаться надо в досудебной претензии и иске на ст. 309 ГК РФ, как на невыполненное обязательство.

Также на ст. 929 ГК РФ (видимо, это договор имущественного страхования. Или выбрать другой тип договора страхования в кодексе, условия которого были нарушены)

Также можно запросить с них уплату процентов на сумму долга (в случае, если вы заплатили банку и страховая должна уже вам).

Можно запросить компенсацию морального вреда.

Статья 309. Общие положения

Обязательства должны исполняться надлежащим образом в соответствии с условиями обязательства и требованиями закона, иных правовых актов, а при отсутствии таких условий и требований — в соответствии с обычаями или иными обычно предъявляемыми требованиями.

Статья 929. Договор имущественного страхования

1. По договору имущественного страхования одна сторона (страховщик) обязуется за обусловленную договором плату (страховую премию) при наступлении предусмотренного в договоре события (страхового случая) возместить другой стороне (страхователю) или иному лицу, в пользу которого заключен договор (выгодоприобретателю), причиненные вследствие этого события убытки в застрахованном имуществе либо убытки в связи с иными имущественными интересами страхователя (выплатить страховое возмещение) в пределах определенной договором суммы (страховой суммы).

Статья 395. Ответственность за неисполнение денежного обязательства

1. В случаях неправомерного удержания денежных средств, уклонения от их возврата, иной просрочки в их уплате подлежат уплате проценты на сумму долга. Размер процентов определяется ключевой ставкой Банка России, действовавшей в соответствующие периоды. Эти правила применяются, если иной размер процентов не установлен законом или договором.

Статья 151. Компенсация морального вреда

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.

Более подробно про моральный вред — ст. 1099 — 1101 ГК РФ.

Статья 929. Договор имущественного страхования 1. По договору имущественного страхования одна сторона (страховщик) обязуется за обусловленную договором плату (страховую премию) при наступлении предусмотренного в договоре события (страхового случая) возместить другой стороне (страхователю) или иному лицу, в пользу которого заключен договор (выгодоприобретателю), причиненные вследствие этого события убытки в застрахованном имуществе либо убытки в связи с иными имущественными интересами страхователя (выплатить страховое возмещение) в пределах определенной договором суммы (страховой суммы).

 Указанная норма здесь не применяется, поскольку речь идет не об имущественном, а о личном страховании. Жизнь и здоровье заемщика имуществом никак являться не могут. 

В Определение Первого кассационного суда общей юрисдикции от 12.10.2022 по делу N 88-25524/2022, например, отмечалось

В соответствии с частью 1 статьи 961 Гражданского кодекса Российской Федерации страхователь по договору имущественного страхования после того, как ему стало известно о наступлении страхового случая, обязан незамедлительно уведомить о его наступлении страховщика или его представителя. Если договором предусмотрен срок и (или) способ уведомления, оно должно быть сделано в условленный срок и указанным в договоре способом. Такая же обязанность лежит на выгодоприобретателе, которому известно о заключении договора страхования в его пользу, если он намерен воспользоваться правом на страховое возмещение.
В то же время суд оставил без оценки действия сотрудников банка по информированию наследника заемщика о необходимости предоставления документов, в том числе медицинских для признания смерти застрахованного лица страховым событием и получения страховой выплаты.
Такие действия банка привели к увеличению размера задолженности по кредиту.
Суд апелляционной инстанции не оценил действия сторон по необходимости предоставления запрашиваемых документов, совершение действий по их получению, у кого данные документы находятся, получены ли данные письма ответчиком, является ли смерть ФИО29 страховым случаем.

Поэтому нужно смотреть какие конкретно действия Вы должны были совершить при обращении в страховую компанию для получения выплаты, поскольку суд, также дает им оценку, допуская необходимым их совершения как основания выплаты.

Если требуемые действия с Вашей стороны были исполнены в полном объеме — то в Вашем усматривается положительная судебная перспектива, при соблюдении обязательного досудебного порядка по взысканию образовавшейся задолженности и компенсации морального вреда.