Договоренность между учреждениями имеется, по которой другие специалисты выезжают раз в год и получают соответствующую оплату

Здравствуйте! Не правомочно. Все должно производиться с Вашего согласия и с выплатой доплаты.

Я так понимаю, что работодатели в данной ситуации разные, а это уже внешнее совместительство.

В соответствии со ст. 60 ТК РФ

Запрещается требовать от работника выполнения работы, не обусловленной трудовым договором, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом и иными федеральными законами.

Согласно ст. 60.1 ТК РФ 

Работник имеет право заключать трудовые договоры о выполнении в свободное от основной работы время другой регулярной оплачиваемой работы у того же работодателя (внутреннее совместительство) и (или) у другого работодателя (внешнее совместительство).

Согласно ст. 285 ТК РФ Оплата труда лиц, работающих по совместительству, производится пропорционально отработанному времени, в зависимости от выработки либо на других условиях, определенных трудовым договором.

Если Вам нужна подробная консультация Вы можете написать мне в чат.
Хорошего дня!