Как можно выйти из этой ситуации?

Здравствуйте. 

По закону если прописан — должен платить. Возможно ли обойти это?

 к сожалению, нет. Ст. 31 ЖК РФ

3. Дееспособные и ограниченные судом в дееспособности члены семьи собственника жилого помещения несут солидарную с собственником ответственность по обязательствам, вытекающим из пользования данным жилым помещением, если иное не установлено соглашением между собственником и членами его семьи.

Попробовать доказать факт проживания в другом месте и отсутствия по адресу прописки? Поможет ли это?

 не думаю.

 Так же вопрос по исковой давности

Три года с момента взыскания? Если да, то какого именно, первого (когда его отменили) или нынешнего

Срок исковой давности 3 года и считается по каждому платежу (выставленной сумме за месяц отдельно). Ст. 200 ГК РФ

1. Если законом не установлено иное, течение срока исковой давности начинается со дня, когда лицо узнало или должно было узнать о нарушении своего права и о том, кто является надлежащим ответчиком по иску о защите этого права.

Мать и другие прописанные несовершеннолетние не планируют оплачивать долги, ее устраивет заблокированный счёт, ждёт когда оплатит все муж. Как можно выйти из этой ситуации?

выписаться.

Здравствуйте! Был один исполнительный лист вынесен, или за новый период? Если вынесен исполнительный лист и возбуждено исполнительное производство уже в судебном порядке доказать факт отсутствия проживания в зарегистрированной квартире и проживание по другому адресу не представляется возможным. Это нужно было делать раньше, просить управляющую компанию разделить счет, выписывать разные платежки. Также писать заявление о перерасчете за коммунальные услуги ( если нет счетчиков). По поводу срока взыскания. Согласно ст. 21 Федерального закона от 02.10.2007 N 229-ФЗ  Исполнительные листы, выдаваемые на основании судебных актов, за исключением исполнительных листов, указанных в частях 2, 4 и 7 настоящей статьи, могут быть предъявлены к исполнению в течение трех лет со дня вступления судебного акта в законную силу. Вынесен исполнительный лист по долгу за определенный период же?  Как я понимаю, исполнительное производство было окончено из-за невозможности взыскания. Но согласно ст. 47 вышеуказанного законаВ течение срока предъявления исполнительного документа к исполнению постановление судебного пристава-исполнителя об окончании исполнительного производства может быть отменено старшим судебным приставом или его заместителем по собственной инициативе или по заявлению взыскателя в случае необходимости повторного совершения исполнительных действий и применения, в том числе повторного, мер принудительного исполнения. Полагаю, что был вынесен новый исполнительный документ, по которому за новый период началось взыскание. Чтобы точно ответить на Ваш вопрос нужна подробная информация об исполнительном производстве/производствах. Срок по суду УК могла восстановить, есть у Вас такая информация?