Какой срок давности у такого случая, если прошел уже месяц с покупки?

Вполне возможно, что если продавец разместил объявление, что это подлинный товар производителя, а продал фальсификат, то могут возбудить и уголовное дело. Так, полиция обязана провести проверку в порядке ст. 144 УПК РФ и принять одно из следующих решений, предусмотренных ст. 145 УПК РФ:

1) о возбуждении уголовного дела в порядке, установленном статьей 146 настоящего Кодекса;

2) об отказе в возбуждении уголовного дела; 
3) о передаче сообщения по подследственности 

Если уголовное дело будет возбуждено, то гражданский иск о возмещении ущерба, причиненного преступлением, Вы сможете подать в уголовном деле.

Сроки давности привлечения  к уголовной ответственности— не менее 2х лет по ст. 159 УК РФ.

Если в возбуждении уголовного дела будет отказано, то Вы вправе обжаловать это постановление прокурору или в суд, а можете обратиться в суд в порядке гражданского судопроизводства на основании ч.2 ст. 475 Гражданского Кодекса РФ с правом:

отказаться от исполнения договора купли-продажи и потребовать возврата уплаченной за товар денежной суммы;

Но полиция хотя бы установит все данные продавца, поскольку при обращении в суд Вам необходимо указать полные данные продавца (ФИО, адрес регистрации), и в суд придется обращаться по месту жительства продавца.

или хотя бы потребовать возврата денег, так как товар был продан не тот, который заявлен в объявлении? какой срок давности у такого случая, если прошел уже месяц с покупки?

 На месячный срок Вы можете не обращать внимания, поскольку для целей обращения в суд за защитой Вашего права срок давности равен 3 годам.

Обратиться в суд Вы можете на том, основании, что Вам был продан товар ненадлежащего качества.

Поскольку Вы говорите, что

продавец уверял, что это оригинал, приложил чек о покупке сумки

 То одним из условий качества товара, является его принадлежность данному бренду. Содержания требования к качеству будет определяться исходя из Вашей переписки с продавцом, которая в данном контексте рассматривается как договор, по смыслу ст. 434 ГК РФ.

В этой связи поскольку продан товар, качество которого не соответствует договору и в том случае, если из истории объявлений на авито, видно, что продавец осуществляет деятельность постоянно, Вы основываясь на ст. 18 Закона РФ «О защите прав потребителей» вправе отказаться от договора и потребовать возврата оплаченной суммы.

Для целей подачи иска с указанным требованием Вам нужен его адрес. Он может быть получен из материалов проверки, проведенной полицией по Вашему обращению.

Как только Вам будет известен его адрес, готовите иск и обращаетесь в суд по месту Вашего жительства.

Вместе с иском подаете заявление о применении обеспечительных мер в виде наложения ареста на его имущество. 

в том случае, если из истории объявлений на авито, видно, что продавец осуществляет деятельность постоянно,

 Вряд ли будет применим Закон РФ «О защите прав потребителей», если  продавец приложил якобы чек покупки этой сумки

продавец уверял, что это оригинал, приложил чек о покупке сумки