Здравствуйте, Виктория. Несмотря на то что расписки не было, ситуация не безнадежная, поскольку, как Вы говорите, есть переписка и переводы.
Для подачи иска, Вам требуется зафиксировать переписку (часть переписки, где говорится что Вы занимаете деньги с условием возврата и берете для нее кредит). Фиксировать переписку можно через нотариуса (дорого, но можно сделать выборку сообщений, чтобы снизить стоимость) либо через специальные компании, проводящие так называемые компьютерно-технические экспертизы (более бюджетный вариант). В Москве таких компаний много и суды принимают их заключения.
Подать в суд можно на основании ст. 1102 ГК РФ (неосновательное обогащение).
Готов помочь Вам в подборе доказательств (сообщений), выборе фиксации сообщений (выборе нотариуса или компании), а также подготовки искового заявления. Пишите в чат.
В вашей ситуации для договор займа может быть заключен и в устной форме
ст. 808 ГК
Это очень хорошо. В суде придется доказать каждое обстоятельство ст. 56 ГПК. Переписку можно удостоверить у нотариуса и использовать в качестве доказательства. Выписка из банковской карты будет доказательством передачи денег.