Здравствуйте.
Да, он становится заключённым на неопределённый срок. Статья 58 Трудового кодекса РФ прямо закрепляет, что «в случае, когда ни одна из сторон не потребовала расторжения срочного трудового договора в связи с истечением срока его действия и работник продолжает работу после истечения срока действия трудового договора, условие о срочном характере трудового договора утрачивает силу и трудовой договор считается заключенным на неопределенный срок».
Если с вами захотят расторгнуть трудовой договор на том основании, что истёк его срок, это будет неправомерно, и такое расторжение трудового договора можно оспорить в суде и восстановиться на работе со всеми компенсациями.
Надеюсь, мой ответ был полезен.