Как заверить то, что бабушка даёт деньги и я обязуюсь ей выплачивать?

Здравствуйте!

Как сделать так, чтобы муж не претендовал на новое жилье в случае развода ?

Изменить режим совместной собственности можно путем заключения брачного договора.

Разницу в сумме мне хочет дать бабушка, но с распиской о том, что я обязуюсь выплачивать ей денежные средства ежемесячно

Лучше оформить эти деньги как дарение — так будет проще признать купленную квартиру вашим личным имуществом. 

Добрый день Ксения. Имущество, полученное в дар даже в браке не делится при разводе. Однако Вы планируете приобрести иное жилье, которое будет принадлежать обоим супругам в равной степени, в случае развода разрешать спор по имуществу будет суд. Самый простой способ — это заключение брачного договора, либо оформить имущество на бабушку, дабы впоследствии она вновь подарила его Вам. 

Расписки в рукописном виде принимаются судами, их будет достаточно для установления факта получения бабушкой от Вас денежных средств.