Или нужно в один день сделать?

Добрый день! 
Нет, необязательно это делать в один день. ГПК РФ не предусматривает обязательности срока. 

Это прямо установлено ст. 132 ГПК РФ: 

К исковому заявлению прилагаются:

 
1) документ, подтверждающий уплату государственной пошлины в установленных порядке и размере или право на получение льготы по уплате государственной пошлины, либо ходатайство о предоставлении отсрочки, рассрочки, об уменьшении размера государственной пошлины или об освобождении от уплаты государственной пошлины;

 
2) доверенность или иной документ, удостоверяющие полномочия представителя истца;

 
3) документы, подтверждающие выполнение обязательного досудебного порядка урегулирования спора, если такой порядок установлен федеральным законом;

 
4) документы, подтверждающие обстоятельства, на которых истец основывает свои требования;

(в ред. Федерального закона от 02.12.2019 N 406-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
 
5) расчет взыскиваемой или оспариваемой денежной суммы, подписанный истцом, его представителем, с копиями в соответствии с количеством ответчиков и третьих лиц;

 
6) уведомление о вручении или иные документы, подтверждающие направление другим лицам, участвующим в деле, копий искового заявления и приложенных к нему документов, которые у других лиц, участвующих в деле, отсутствуют, в том числе в случае подачи в суд искового заявления и приложенных к нему документов в электронном виде;

(в ред. Федерального закона от 30.12.2021 N 440-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
 
7) документы, подтверждающие совершение стороной (сторонами) действий, направленных на примирение, если такие действия предпринимались и соответствующие документы имеются.

И из практики скажу, что бывала разница в месяцы между этими процессуальными действиями и никаких претензий у суда. 

Здравствуйте! Можно оплатить пошлину заранее, а уже потом направлять документы в суд, а также истцу. Самое главное, чтобы на момент судебного разбирательства государственная пошлина была оплачена.