Здравствуйте.
Мать ребенка зарегистрировать его в чужом имуществе (Вашей квартире), с которым она юридически никак не связана, не сможет. Однако нужно учитывать, что в соответствии со статьей 20 ГК РФ,
Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.
Поэтому формально сейчас, если у отца ребенка есть регистрация в Вашей квартире (а регистрация — это право пользования), ребенок имеет также право пользования Вашим жилым помещением. И если отец захочет зарегистрировать ребенка в том месте, где он проживает и имеет регистрацию, он это сделать сможет.
При этом у Вас как у собственницы есть право распоряжаться своим имуществом
Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.
Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.
Статья 209 ГК РФ.
Поэтому если Вы будете не согласны с такими действиями сожителя, единственный возможный вариант разрешить ситуацию будет — обращение в суд с иском о прекращении права пользования жилым помещением, снятии с регистрационного учета.