Законен ли обыск по постановлению судьи после истечения сроков следствия?

Так, согласно разъяснениям, данным Верховным Судом РФ в Постановлении Пленума Верховного Суда РФ от 01.06.2017 N 19 «О практике рассмотрения судами ходатайств о производстве следственных действий, связанных с ограничением конституционных прав граждан (статья 165 УПК РФ)»
 

18. С учетом положений пункта 53.3 статьи 5 и части 1 статьи 127 УПК РФ постановление судьи, вынесенное в порядке, установленном статьей 165 УПК РФ, является промежуточным судебным решением, которое может быть самостоятельно обжаловано в апелляционном порядке. По смыслу закона, апелляционное обжалование постановления о производстве следственного действия не приостанавливает исполнение такого постановления.

Если постановление суда о разрешении производства обыска не будет отменено, то в ходе судебного разбирательства этого уголовного дела (при его поступлении в суд после окончании расследования) возможно заявить ходатайство об исключении из доказательств протокола обыска, как полученного с нарушением требований закона, а согласно ст. 75 Уголовно-процессуального Кодекса РФ:

1. Доказательства, полученные с нарушением требований настоящего Кодекса, являются недопустимыми. Недопустимые доказательства не имеют юридической силы и не могут быть положены в основу обвинения, а также использоваться для доказывания любого из обстоятельств, предусмотренных статьей 73 настоящего Кодекса.

Можно заявить об исключении доказательства и на стадии предварительного расследования и прокурору при поступлении уголовного дела прокурору для утверждения обвинительного заключения, но маловероятно, что на данных стадиях это ходатайство будет удовлетворено, а вот в суде — это реально возможно.

Да и вполне возможен вариант, что уголовное дело приостанавливалось в связи с неустановлением виновного лица, а затем предварительное расследование возобновлялось, и в этот период обыск и был произведен.

Маловероятно, что суд вынес постановление при отсутствии сведений о законности проведения предварительного расследования и обращения следователя с таким ходатайством в суд.

Как эффективней оспорить незаконность проведения обыска, через прокуратуру или суд?

 Если имеется постановление суда о производстве обыска, то в прокуратуру вы его не обжалуете, так как суд  «выше» прокуратуры.

Однако перспективы обжалования на основание процессуальных нарушений думаю малоперспективны, так как за сроками следят внимательно, а кроме того, если дело важное и сложное, продление могут подписать задним числом и вложить в дело.   И доказать обратное станет практически невозможно.

УПК РФ Статья 56. Свидетель
 
 
4. Свидетель вправе:

 
5) заявлять ходатайства и приносить жалобы на действия (бездействие) и решения дознавателя, начальника подразделения дознания, начальника органа дознания, органа дознания, следователя, прокурора и суда;

У вас, как у свидетеля, обжаловать действия сотрудников и суда имеются, но как уже сказал, наибольшие перспективы, если в ходе его проведения были допущены нарушения.  То есть обжаловать действия сотрудников.

Важный вопрос: какую цель вы преследуете? 

Наказать судью или сотрудников, проводивщих обыск и следователя, ходатайствовавшего об этом.

Судью наказать наверняка не получится. Разве что сотрудников, проводивших обыск, если в их действиях имели место место нарушение ваших прав.

Подать жалобу на сотрудников можно в прокуратуру и суд, однако для этого надо иметь основание. 

Есть ли они, исходя из вашего вопроса не ясно.

Да, для обращения в суд следователь должен был возобновить производство по делу. По приостановленному делу следователь не вправе подавать ходатайство в суд.