В начале июля у меня в квартире мастер проводил работы по монтажу натяжных потолков но работу не выполнил, а

Между нами после личного общения велась переписка, где были обговорены сумма, сроки и технические детали.

 это хорошо. Тогда в претензии сошлитесь хотя бы на переписку.

Там я задавала утончающие вопросы по срокам монтажа когда было понятно что он опаздывает и получила ответ — в течении трех дней будет выполнено, прошло больше 2 недель.

 тоже можно указать. Правда видимо от этих 3 дней и надо будет считать. В силу ст. 723 ГК РФ

3. Если отступления в работе от условий договора подряда или иные недостатки результата работы в установленный заказчиком разумный срок не были устранены либо являются существенными и неустранимыми, заказчик вправе отказаться от исполнения договора и потребовать возмещения причиненных убытков.

Он сказал что работает сам на себя и договор/чек предоставить не может, но потом упоминал что он самозанятый.

 через суд надо будет узнавать в налоговой.

Я спрашиваю про экспертизу так как я не могу въехать в квартиру без потолка и мне надо его в любом случае доделать срочно но уже обратившись к другому мастеру, как я смогу потом доказать факт не выполненной работы. И есть ли смысл это доказывать?

 имеет конечно. Если обратитесь к другому мастеру — эти убытки также можете требовать взыскать. В идеале желательно доказать, что он хотя бы самозанятый и тогда можно спокойно ФЗ «О ЗПП» применять.

Я хочу подать иск о незаконном обогащении и вернуть аванс через суд. Подскажите какие нужно предпринять действия в данном случае что бы как можно быстрее вернуть деньги?

 Увы, но перспектива удовлетворения такого иска сводится к нулю, поскольку средства он получил в рамках исполнения договорных обязательств, а соответственно, у него были законные основания для их получения.

Тут нужно основываться на ст. 1102 ГК РФ, в силу которой

1. Лицо, которое без установленных законом, иными правовыми актами или сделкой оснований приобрело или сберегло имущество (приобретатель) за счет другого лица (потерпевшего), обязано возвратить последнему неосновательно приобретенное или сбереженное имущество (неосновательное обогащение), за исключением случаев, предусмотренных статьей 1109 настоящего Кодекса.

При подачи такого иска, с учетом складывающейся практика Вам нужно будет доказать следующие обстоятельства

1) факт приобретения или сбережения ответчиком имущества за счет истца (п. 7 Обзора судебной практики Верховного Суда Российской Федерации N 2 (2019), утв. Президиумом Верховного Суда РФ 17.07.2019);

2) отсутствие оснований для приобретения или сбережения имущества, установленных законом, другими правовыми актами или сделкой;

3) размер неосновательного обогащения.

В Вашем случае, исковые требования должны основываться на нарушение срока выполнения обязательства и нарушение требований к качеству выполняемых работ.

В обоснование исковых требований, стоит учитывать, что в силу ст. 723 ГК РФ

1. В случаях, когда работа выполнена подрядчиком с отступлениями от договора подряда, ухудшившими результат работы, или с иными недостатками, которые делают его не пригодным для предусмотренного в договоре использования либо при отсутствии в договоре соответствующего условия непригодности для обычного использования, заказчик вправе, если иное не установлено законом или договором, по своему выбору потребовать от подрядчика:
безвозмездного устранения недостатков в разумный срок;
соразмерного уменьшения установленной за работу цены;
возмещения своих расходов на устранение недостатков, когда право заказчика устранять их предусмотрено в договоре подряда (статья 397).

Соответственно, тут нужно или предварительно обратиться к исполнителю с требованием об устранении недостатка и только при неудовлетворении данного требования у Вас возникает право требовать денежные средства или доказывать, что выявленные недостатки являются существенными, ввиду того, что в силу ст. 723 ГК РФ

3. Если отступления в работе от условий договора подряда или иные недостатки результата работы в установленный заказчикомразумный срок не были устранены либо являются существенными и неустранимыми, заказчик вправе отказаться от исполнения договора и потребовать возмещения причиненных убытков.

Соответственно до подачи иска, Вам как минимум, дважды придется обращаться к исполнителю — один раз с требованием об устранении недостатков, второй — об отказе от договора и возмещении ущерба. 

Нужно ли проводить экспертизу потолка и ущерба или проще апеллировать к отсутствию каких либо доказательств что средства передены законно ?

 Да, тут стоит провести экспертизу, в рамках которой также определить размер причиненного Вам ущерба.