В январе я оформила заказ на изготовление кухни на заказ, ко мне приходил дизайнер, сделал замеры и при мне

Добрый день.

Можно ли через суд доказать что дизайнер сделал ошибку в проекте и получить компенсацию за неправильно изготовленную кухню, если у меня из доказательств только переписка с дизайнером?

 Боюсь, что нет.

Основным документом будет подписанный Вами проект, в котором как раз определены размеры стандартной микроволновой печи.

Проект, как понимаю является частью Вашего договора и в этом случае, по смыслу ст. 4 Закона РФ «О защите прав потребителей» качество изготовленного изделия должно соответствовать условиям Вашего договора.

1. Продавец (исполнитель) обязан передать потребителю товар (выполнить работу, оказать услугу), качество которого соответствует договору.

На Ваш довод о том, что Вы отправляли параметры микроволновки дизайнеру не примут во внимание на том основании, что Вы подписав договор, согласились с изменением размеров кухни, подписав проект на указанных в нем параметрах.

Тут придется исходить именно из условий проекта, а не предпроектной подготовки.

В силу ст. 432 ГК РФ

1. Договор считается заключенным, если между сторонами, в требуемой в подлежащих случаях форме, достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.
Существенными являются условия о предмете договора, условия, которые названы в законе или иных правовых актах как существенные или необходимые для договоров данного вида, а также все те условия, относительно которых по заявлению одной из сторон должно быть достигнуто соглашение.

Таким образом, подписав проект, вы достигли соглашения по всем существенным условиям, определившись с параметрами кухни.

В Вашем случае стоит попробовать договориться с изготовителем об изменении заказа. 

Здравствуйте! Обычно если нарушены условия связанные с параметрами и качеством товара, применяется статья 18 Закона РФ от 07.02.1992 N 2300-1  «О защите прав потребителей», однако Вы согласовали и подписали рабочий проект по которому была сделана кухня, а значит в одностороннем порядке не можете отказаться от обязательств.

ГК РФ Статья 310. Недопустимость одностороннего отказа от исполнения обязательства

1. Односторонний отказ от исполнения обязательства и одностороннее изменение его условий не допускаются, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Кодексом, другими законами или иными правовыми актами.

Получить компенсацию с продавца кухне не получится. Вы должны оплатить оказанную услугу.

Можно ли через суд доказать что дизайнер сделал ошибку в проекте и получить компенсацию за неправильно изготовленную кухню

В таком случаи Вы не должны были подписывать проект.