Как поступить правильно, чтобы не приобретать сам кассовый аппарат?

Здравствуйте, Дмитрий!

Я бы посоветовала Вам повременить с организацией бизнеса, потому что Вы путаетесь в самых элементарных понятиях. 

Например, ИП — это индивидуальный предприниматель, то есть гражданин с определенным статусом для целей налогообложения, ведущий бизнес без образования юр.лица. Соответственного, гражданина — индивидуального предпринимателя нельзя «открыть» или «закрыть», можно только зарегистрироваться в качестве ИП. 

УСН (доход-расход) 6% от прибыли

Такой системы налогообложения вообще нет. Есть УСН (УСНО) с объектом налогообложения «Доходы» и ставкой 6% и УСН (УСНО) с объектом налогообложения «Доходы, уменьшенные на величину расходов» со ставкой 15%. Более низкие ставки могут устанавливаться законодательством субъекта РФ, на территории которого зарегистрирован ИП. Налог на прибыль платится только на общей системе налогообложения  — ОСН (ОСНО).

как мне доказать свои расходы, если покупка самих материалов происходит на самом рынке, где не выдают никаких чеков ?

 никак, такие расходы для целей налогообложения учесть будет нельзя, расходы должны быть экономически обоснованными, документально подтвержденными и относится к той категории расходов, которая в принципе принимается к учету. 

Как поступить правильно, чтобы не приобретать сам кассовый аппарат? Можно ли отправить электронный кассовый чек, если оплату произвели наличными или банковским переводом?

никак, потому что такое невозможно. Чек в электронной форме (вы удивитесь, наверное) выдает как раз кассовый аппарат (даже если используется арендованная облачная онлайн касса, все равно где-то существует фискальный накопитель и др. части ККТ).