И наоборот, если в моём случае применяется КАС, то в каком случае КоАП?

Каков срок обжалования решения районного суда по жалобе на постановление по делу об административном правонарушении?

 В данном случае для определения срока нужно исходить из требований ст. 30.9 КоАП РФ

2. Постановление по делу об административном правонарушении, вынесенное коллегиальным органом, органом, созданным в соответствии с законом субъекта Российской Федерации, и (или) решение судьи по жалобе на это постановление могут быть обжалованы в вышестоящий суд.
3. Подача последующих жалоб на постановление по делу об административном правонарушении и (или) решения по жалобе на это постановление, их рассмотрение и разрешение осуществляются в порядке и в сроки, установленные статьями 30.2 — 30.8 настоящего Кодекса.

А соответственно и в этом случае применяется установленный ст. 30.3 срок на обжалование — 10 дней с момента получения постановления, в том числе и вынесенному по ранее рассмотренной судом жалобе.

Установленный КАС РФ порядок апелляционного обжалования тут не применим, поскольку в рамках КАС не рассматриваются дела об административных правонарушениях.

то в каких случаях применяется статья КАС?

 Основания его применения оговорены в ст. 1  КАС РФ — http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_176147/7e924f5a5554c3585bd24c8e024fe64e0dc61520/

Предмет правового регулирования КАС РФ детализирован в постановление Пленума Верховного Суда РФ от 27.09.2016 N 36 «О некоторых вопросах применения судами Кодекса административного судопроизводства Российской Федерации», указавшим конкретизировавшим предмет правового регулирования КАС РФ и гражданского судопроизводства.

Каков срок обжалования решения районного суда по жалобе на постановление по делу об административном правонарушении?

 Согласно ст. 30.9 КоАП РФ:

3. Подача последующих жалоб на постановление по делу об административном правонарушении и (или) решения по жалобе на это постановление, их рассмотрение и разрешение осуществляются в порядке и в сроки, установленные статьями 30.2 — 30.8 настоящего Кодекса.

А статьей 30.3 КоАП РФ предусмотрено, что жалоба подается в 10суточный  срок с момента получения копии решения.

Если в моём случае применяется КоАП, то в каких случаях применяется статья КАС? 

КАС РФ применяется при обжаловании решений, вынесенных по административному иску, а не по жалобе на постановление. Ни Вы, ни к Вам административный иск не предъявляли, дело рассматривалось, как я понял по КоАП РФ, следовательно, и обжалование решения будет по нормам КоАП РФ.

Что означает мистическая формулировка КАС «со дня принятия решения суда в окончательной форме»?

Эта формулировка к Вашей ситуации не применима. Просто по делам, рассматриваемым по КАС, судом оглашается резолютивная часть решения, а затем в течение 5 дней изготавливается решение в окончательной форме.

В Вашей ситуации суд оглашает полный текст решения, и никакой окончательной формы далее уже быть не может.

Так, согласно ст. 30.8 КоАП РФ:

1. Решение по жалобе на постановление по делу об административном правонарушении оглашается немедленно после его вынесения.

Каков срок обжалования решения районного суда по жалобе на постановление по делу об административном правонарушении?

 Кем вынесено постанволение? Судом или органом административной юрисдикции, должностным лицом? Поясните этот вопрос

А оптимально — выложите постановление само

Тут дело в том, что надо понимать кем вынесено постанволение, чтобы понять какой срок его обжалования если жалоба уже была рассмотрена в суде