Имею ли я право запросить запись видеонаблюдения без оформления жалобы?

Если Вы намерены получить возмещение от детского сада, то тогда Вам нужно будет заявить об этом инциденте и потребовать от учреждения проведения расследования травмирования ребенка в соответствии с  Приказом Министерства образования и науки РФ от 27 июня 2017 г. N 602 «Об утверждении Порядка расследования и учета несчастных случаев с обучающимися во время пребывания в организации, осуществляющей образовательную деятельность»

Что касается видео, то запрета на его получение от детского сада нет.

Формально Вы можете обосновать это Вашим правом в силу ст. 44 и  45 Закона «Об образовании в Российской Федерации» от 29.12.2012 N 273-ФЗ

Родители (законные представители) несовершеннолетних обучающихся имеют право:

...

4) знакомиться с содержанием образования, используемыми методами обучения и воспитания, образовательными технологиями, а также с оценками успеваемости своих детей;

 
5) защищать права и законные интересы обучающихся

1. В целях защиты своих прав обучающиеся, родители (законные представители) несовершеннолетних обучающихся самостоятельно или через своих представителей вправе:

1) направлять в органы управления организацией, осуществляющей образовательную деятельность, обращения о применении к работникам указанных организаций, нарушающим и (или) ущемляющим права обучающихся, родителей (законных представителей) несовершеннолетних обучающихся, дисциплинарных взысканий.

Например тем что хотите проверить насколько собллюдаются нормы при организации игр, занятий итп

но есть задача разобраться как это произошло и обеспечить условия для будущего безопасного пребывания моего сына в детском саду.

 А вот для этих целей Вам нужно обратиться в детский сад за получением акта о расследовании несчастного случая.

Порядок проведения и оформления такого расследования определяется приказом Минобрнауки России от 27.06.2017 N 602 «Об утверждении Порядка расследования и учета несчастных случаев с обучающимися во время пребывания в организации, осуществляющей образовательную деятельность», согласно которому

3. Расследованию и учету подлежат несчастные случаи, повлекшие за собой временную или стойкую утрату трудоспособности, здоровья в соответствии с медицинским заключением и, как следствие, освобождение от занятий не менее чем на один день, либо смерть обучающегося, если указанные несчастные случаи произошли:
а) во время учебных занятий и мероприятий, связанных с освоением образовательных программ, во время установленных перерывов между учебными занятиями (мероприятиями), проводимыми как на территории и объектах организации, осуществляющей образовательную деятельность, так и за ее пределами, в соответствии с учебным планом организации, осуществляющей образовательную деятельность, а также до начала и после окончания учебных занятий (мероприятий), время которых определены правилами внутреннего распорядка обучающихся, графиком работы организации, осуществляющей образовательную деятельность и иными локальными нормативными актами;
7. Руководитель организации (или уполномоченное им лицо), осуществляющей образовательную деятельность, при наступлении несчастного случая обязан:
в) принять меры по фиксированию до начала расследования несчастного случая обстановки, какой она была на момент происшествия (составить схемы, провести фотографирование или видеосъемку, осуществить другие мероприятия), если это не угрожает жизни и здоровью других лиц и не ведет к катастрофе, аварии или возникновению иных чрезвычайных обстоятельств;
д) проинформировать о несчастном случае с обучающимся Учредителя, а также родителей или законных представителей пострадавшего (далее — родители или законные представители);
21. Акт о расследовании несчастного случая с обучающимся составляется в трех экземплярах и не позднее трех рабочих дней после завершения расследования утверждается руководителем организации, осуществляющей образовательную деятельность, и заверяется печатью данной организации (при наличии).
Первый экземпляр акта о расследовании несчастного случая с обучающимся выдается совершеннолетнему пострадавшему (его законному представителю или иному доверенному лицу), родителям (законному представителю) несовершеннолетнего пострадавшего в течение трех рабочих дней после дня его регистрации.

На основании составленного акта Вы уже можете заявлять требования о возмещении вреда.

Ведь для целей получения возмещения вреда, включая и компенсацию морального вреда, в силу разъяснений приведенных в Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 23.06.2015 N 25
«О применении судами некоторых положений раздела I части первой Гражданского кодекса Российской Федерации»

2. По делам о возмещении убытков истец обязан доказать, что ответчик является лицом, в результате действий (бездействия) которого возник ущерб, а также факты нарушения обязательства или причинения вреда, наличие убытков (пункт 2 статьи 15 ГК РФ).

Вам нужно представить доказательства:

— факта причинения вреда, с указанием времени и места его причинения;
— размер причиненного вреда.

Ввиду того, что ребенок в момент получения вреда находился под надзором детского сада, то он и несет ответственность за причиненный вред, если им не будет доказано, что причинение вреда возникло не по его вине.

Вы вправе заявить требование как о компенсации материальных затрат на лечение, так и компенсацию морального вреда. 

 В части компенсации материального ущерба — его объем, определяется по правилам ст. 1085 ГК РФ и включает в себя возмещение всех расходов на лечение.

1. При причинении гражданину увечья или ином повреждении его здоровья возмещению подлежит утраченный потерпевшим заработок (доход), который он имел либо определенно мог иметь, а также дополнительно понесенные расходы, вызванные повреждением здоровья, в том числе расходы на лечение, дополнительное питание, приобретение лекарств, протезирование, посторонний уход, санаторно-курортное лечение, приобретение специальных транспортных средств, подготовку к другой профессии, если установлено, что потерпевший нуждается в этих видах помощи и ухода и не имеет права на их бесплатное получение.

Компенсация морального вреда взыскивается как в пользу ребенка, так и отдельно в пользу родителя.

На этот счет был сделан вывод в Определение Судебной коллегии по гражданским делам Верховного Суда Российской Федерации от 08.07.2019 N 56-КГПР19-7

Из нормативных положений Конвенции о защите прав человека и основных свобод, толкования положений Конвенции в соответствующих решениях Европейского Суда по правам человека в их взаимосвязи с нормами Конституции Российской Федерации, Семейного кодекса Российской Федерации, положений статей 150, 151 Гражданского кодекса Российской Федерации следует, что в случае причинения вреда жизни и (или) здоровью гражданина требования о компенсации морального вреда могут быть заявлены родственниками и другими членами семьи такого гражданина, поскольку, исходя из сложившихся семейных связей, характеризующихся близкими отношениями, духовным и эмоциональным родством между членами семьи, возможно причинение лично им (то есть членам семьи) нравственных и физических страданий (морального вреда) в связи с причинением вреда здоровья их близкому родственнику, другому лицу, являющемуся членом семьи по иным основаниям (в частности, опека, попечительство).