Если он этого не делает, какие могут быть последствия?

Здравствуйте, Кира. 

Да, военнослужащий до исключения из списков части обязан исполнять обязанности военной службы.

За неявку на службу и неисполнение обязанностей военной службы более 10 дней предусмотрена уголовная ответственность по статье 337 УК РФ.

Постановление Пленума Верховного Суда Российской Федерации от 3 апреля 2008 г. N 3 г. Москва «О практике рассмотрения судами уголовных дел об уклонении от призыва на военную службу и от прохождения военной или альтернативной гражданской службы»

13. В тех случаях, когда незаконно пребывающий вне части (места службы) военнослужащий временно появляется в расположении части (в месте службы) без намерения приступить к исполнению обязанностей военной службы и фактически не приступает к их исполнению либо задерживается органами власти за совершение другого правонарушения и при этом скрывает от них наличие у него статуса военнослужащего, либо после уведомления либо после уведомления командования о месте своего нахождения не выполняет отданные ему распоряжения и тем самым продолжает уклоняться от исполнения обязанностей военной службы, течение срока самовольного отсутствия не прерывается.

Добрый день. Пока он военнослужащий, то он обязан исполнять обязанности военнослужащего, как общие, так и должностные и специальные.

При самовольном отсутствии он может быть привлечен к уголовной ответстевнности по ст. 337 УК РФ

3. Самовольное оставление части или места службы, а равно неявка в срок без уважительных причин на службу продолжительностью свыше десяти суток, но не более одного месяца, совершенные военнослужащим, проходящим военную службу по призыву или по контракту, — наказываются ограничением по военной службе на срок до двух лет, либо содержанием в дисциплинарной воинской части на срок до двух лет, либо лишением свободы на срок до трех лет

отсутствие на службе менее 10 суток не влечет уголовной ответственности, но и не влечет обязанности командира уволить его в обязательном порядке.

Добрый день.

Должен ли он после этого ходить на службу и исполнять служебные обязанности? Если он этого не делает, какие могут быть последствия?

 Да, должен.

До того момента пока он не исключен из списков части в связи с увольнением он является военнослужащим, в связи с чем на него лежит исполнение обязанностей военной службы.

В силу ст. 3 Положения о порядке прохождения военной службы

Военнослужащий должен быть исключен из списков личного состава воинской части в день истечения срока его военной службы (уволенный досрочно — не позднее окончания срока военной службы), кроме случаев, установленных Федеральным законом и настоящим Положением.
День исключения из списков личного состава воинской части является для военнослужащего днем окончания (последним днем) военной службы.

Таким образом, до того момента пока он является военнослужащим исполнение обязанностей с него никто не снимал.

Их не исполнение предполагает перспективы привлечения его к дисциплинарной ответственности.