Долг никуда не денется, ведь это долг за прошлое время когда вы были здесь прописаны. Прописаться в новую квартиру можете свободно если собственник квартиры не против. Если по старому месту жительства вынесен судебный приказ о взыскании долга, то можете его пытаться отменить, подав в суд, который его вынес заявление от его отмене.
Статья 128. Извещение должника о вынесении судебного приказа
Судья в пятидневный срок со дня вынесения судебного приказа высылает копию судебного приказа должнику, который в течение десяти дней со дня получения приказа имеет право представить возражения относительно его исполнения.
Статья 129. Отмена судебного приказа
При поступлении в установленный срок возражений должника относительно исполнения судебного приказа судья отменяет судебный приказ. В определении об отмене судебного приказа судья разъясняет взыскателю, что заявленное требование им может быть предъявлено в порядке искового производства. Копии определения суда об отмене судебного приказа направляются сторонам не позднее трех дней после дня его вынесения.
Если долг насчитан оператором услуги, то напишите заявление в его адрес с просьбой перерасчета (если имеются основания).
Если долг взыскан судом, то нужно отменять/оспаривать судебное решение (опять же, если имеются основания полагать, что расчет истца неверный).