Может ли служба безопасности по данному факту написать заявление на меня?

Здравствуйте, Василиса.

Согласно ч. 1 ст. 7. 27 КоАП РФ мелкое хищение чужого имущества, стоимость которого не превышает одну тысячу рублей, путем кражи, мошенничества, присвоения или растраты при отсутствии признаков преступлений, предусмотренных частями второй, третьей и четвертой статьи 158, статьей 158.1, частями второй, третьей и четвертой статьи 159, частями второй, третьей и четвертой статьи 159.1, частями второй, третьей и четвертой статьи 159.2, частями второй, третьей и четвертой статьи 159.3, частями второй, третьей и четвертой статьи 159.5, частями второй, третьей и четвертой статьи 159.6 и частями второй и третьей статьи 160 Уголовного кодекса Российской Федерации, за исключением случаев, предусмотренных статьей 14.15.3 настоящего Кодекса, влечет наложение административного штрафа в размере до пятикратной стоимости похищенного имущества, но не менее одной тысячи рублей, либо административный арест на срок до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок до пятидесяти часов.

Однако в Вашем случае истек срок привлечения к административной ответственности (КоАП РФ  ч. 1 ст. 4.5. Давность привлечения к административной ответственности), так как прошёл уже год со дня совершения административного правонарушения, то есть с момента кражи.

В целом ответы на остальные вопросы зависят от руководства Вашей организации, но имеют больше морально-этический характер, чем юридический (с точки зрения права Вы имеете право остаться работать там же), поэтому воздержусь от ответа.