Здравствуйте, Ольга!
Факт совместно проживания не влияет на возникновение обязательств по долгам мужа.
Скорее всего банк подал на Вас исковое заявление о взыскании задолженности, предполагая что Вы вступили в наследство.
При этом факт вступление в наследство может быть доказан не только подтверждением от нотариуса, но и фактическим вступлением в наследство. К примеру если Вы взяли какие-либо вещи умершего.
Вместе с тем Вы отвечаете только в рамках принятого по наследству имущества, в т.ч. фактически принятого, т.е. в пределах стоимости этого имущества — забрали вещей на 100 000 рублей, только эту сумму и должны будете по долгу умершего.
К сожалению в Вашем вопросе не достает информации с каким именно иском обратился банк.
Может быть банк все-таки обратился с исковым заявлением о признании долга общим долгом супругов и взыскании с Вас задолженности.
В таком случае Вам надо будет доказывать факт фактического прекращения семейных отношений, т.е. дату с которой Вы фактически перестали жить как одна семья. Это может быть доказано, различными способами, в том числе тем, что Вы не проживали совместно.
Если дата фактического прекращения семейных отношений раньше даты, когда были взяты кредиты, то суд откажет в таком иске банку.