Поскольку этот голос является пародией на знаменитого человека, могут ли они потом предъявить авторские права?

Использование голоса известного человека в рекламном ролике возможно без получения на то его разрешения, в случае создания пародии ( пункт 4 статьи 1274 ГК РФ). Пародия характеризуется двумя критериями: должна использовать существующий объект, при этом существенно отличаться от него;  должна являться выражением юмора или насмешки. Таким образом, во избежание нарушения прав, в данном случае Николая Дроздова, голос должен быть узнаваем, при этом у аудитории должно создаваться четкое ощущение что говорит не он, кроме того, либо манерой (например: утрируя его манеру речи), либо содержанием речи должен создаваться комический эффект.

Здравствуйте! Да, пародист может предъявить вам претензию, тк пародия является объектом авторского права. У автора пародии возникает весь комплекс авторских прав. Поэтому вам нужно обратиться к автору пародии за разрешением использования его пародии в рекламе.