Добрый день.
Если арендодатель докажет вашу причастность к появлению плесени за период вашего проживания, то обязаны.
Если плесень возникла не по вашей вине и есть доказательства, то не обязаны.
С подобными требованиями арендодатель вправе обратиться в суд. И если суд придет к выводу о вашей вине, то будете обязаны. Подчеркиваю только суд вправе вынести решение о выплате компенсации. Суд может признать договор аренды заключенным по признакам: проживания, оплаты за проживания, внесение платы за к/у.
Советую в будущем заключать договор аренды, составлять акты приема-передачи при въезде и выезде. Не поленитесь заглянуть под каждый угол. Эти мелочи устраняют до 98% всех будущих проблем.