Анастасия!
Многое зависит от того — на каких условиях Вы работали в данном салоне и как именно были оформлены ваши отношения в связи с обучением на дополнительный курсах.
Действительно, в статье 249 Трудового Кодекса РФ есть такие положения:
В случае увольнения без уважительных причин до истечения срока, обусловленного трудовым договором или соглашением об обучении за счет средств работодателя, работник обязан возместить затраты, понесенные работодателем на его обучение, исчисленные пропорционально фактически не отработанному после окончания обучения времени, если иное не предусмотрено трудовым договором или соглашением об обучении.
Это означает, что, если вы работали по трудовому договору и за счёт работодателя освоили дополнительную специальность, а в трудовом договоре с Вами или дополнительном соглашении было предусмотрено, что Вы должны отработать определённое время после обучения, салон красоты (работодатель) действительно может ставить вопрос о компенсации затрат на Ваше обучение, в том числе и в судебном порядке.
Единственная оговорка — требовать могут не всю сумму, а пропорционально неотработанному времени, с учётом того, что сколько-то Вы у них отработали.
Да, если использование их перчаток привело к ухудшению Вашего здоровья и врач сможет это подтвердить, Вы имеете право на компенсацию расходов на лечение и, возможно, морального вреда, все споры решаются через суд.