С двойным объёмом работы специалист не согласен

С двойным объёмом работы специалист не согласен. Работодатель при этом обещает пересмотреть функции.

Работодатель только лишь вправе в данной ситуации пересмотреть трудовую функцию работника по данной конкретной должности, уменьшить объём работы или увеличить размер оплаты труда, но не обязан. 

Какие претензии можно предъявить работодателю в случае если работодатель не уменьшит объём выполняемых функций?

Работник может, конечно, заявить работодателю требование об увеличении оплаты труда или об уменьшении объёма работы, но, повторюсь, что работодатель не связан прежними условиями труда данного работника на его предыдущем месте работы, поскольку он был фактически (и юридически) принят на новую работу в другую организацию, то есть к новому работодателю. 

Выше в своем первом ответе, я привел Вам общие положения законодательства рФ  и разъяснения.

Теперь что касается этих вопросов:

При этом вместо двух специалистов на конкретной должности оставляют одного. И уведомляют о том, что человек который остаётся, будет заниматься двойным объёмом работы на прибавку к зарплате в 10%. При этом заработная плата этого специалиста с учётом 10% становится равной той, что была у специалиста сокращённого. Кроме того, о выполнении двойного объёма работы специалист предупрежден не был, об этом сообщили в устной форме в день приёма на новую работу.

Если это работник, который остается после сокращения, то о каком приеме на работу вообще здесь идет речь.

В таком случае это изменение условий его трудового договора, изменения  условий возможно только по основаниям указанным в законе, то статьи:

ТК РФ Статья 72. Изменение определенных сторонами условий трудового договора, т.е. только с согласия работника, по ссылке:http://www.consultant.ru/docum...

ТК РФ Статья 74. Изменение определенных сторонами условий трудового договора по причинам, связанным с изменением организационных или технологических условий труда, в одностороннем порядке если имеются причины организационного и технологического характера с уведомлением работника за 2 месяца, по ссылке:http://www.consultant.ru/docum...

Но статья 74 ТК РФ в любом случае здесь применяться не может, в ней указано прямо:

допускается их изменение по инициативе работодателя, за исключением изменения трудовой функции работника.

А вы указали, что работодатель намерен изменить условия на   выполнение двойного объёма работы, это и есть уже увеличение трудовой функции, т.е. ее изменение, а значит статья 74 ТК РФ здесь неприменима, ее применение будет являться незаконным.

По итогу, такие изменения возможно только с согласия работника по статье 72 Трудового кодекса рФ.

Если же это работник который именно принимается вновь на работу, то его обязаны  перед подписанием трудового договора ознакомить с локальными актами, должностная  инструкция и есть локальный акт принимаемый работодателем. содержащиесЯ в ней обязанности относятся к трудовой функции работника.

В случае если работника ознакомили и он заключил трудовой договор нарушений закона нет, если не ознакомили. это нарушение закона.

В соответствии с положениями статьи ТК РФ Статья 68. Оформление приема на работу следует, что:

При приеме на работу (до подписания трудового договора) работодатель обязан ознакомить работника под роспись с правилами внутреннего трудового распорядка, иными локальными нормативными актами, непосредственно связанными с трудовой деятельностью работника, коллективным договором.

http://www.consultant.ru/docum...

Административная ответственность предусмотрена статьей КоАП РФ Статья 5.27. Нарушение трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права -http://www.consultant.ru/docum...

Работник вправе обратиться в трудовую инспекцию или в суд.

Какие претензии можно предъявить работодателю в случае если работодатель не уменьшит объём выполняемых функций?

С ссылкой на приведенной мной выше законодательство и разъяснения, если потребуется отдельная услуга по составлению требования к работодателю, напишите мне в личный чат пройдя по ссылке:https://pravoved.ru/lawyer/798...

В соответствии с положениями статьи ТК РФ Статья 21. Основные права и обязанности работника следует, что:

Работник имеет право на:

защиту своих трудовых прав, свобод и законных интересов всеми не запрещенными законом способами;

http://www.consultant.ru/docum...

Подается не претензия, а заявление, претензионный порядок в армках трудовых правоотношений и Трудового кодекса РФ не предусмотрен, это не гражданские правоотношения.