Можно ли как-то возобновить этот 15-ти дневный срок подачи заявления на переоформление лицензии?

Добрый день, Роман.

Для полного ответа нужно смотреть решение об отказе государственного органа. Можете выложить? (можно обезличить)

Отказ в переоформлении лицензии осуществляется по основаниям, указанным в части 7 статьи 14 настоящего Федерального закона.

Основанием отказа в предоставлении лицензии является:
1) наличие в представленных соискателем лицензии заявлении о предоставлении лицензии и (или) прилагаемых к нему документах недостоверной или искаженной информации;
2) установленное в ходе проверки несоответствие соискателя лицензии лицензионным требованиям;

Уважаемый Роман! Доброго! В принципе по Вам ст.18 федерального закона от 04.05.2011 N 99-ФЗ

(ред. от 02.07.2021)
«О лицензировании отдельных видов деятельности»: http://www.consultant.ru/cons/... плюс само постановление Правительства РФ от 18.09.2020 N 1490 (ред. от 28.07.2021) «О лицензировании образовательной деятельности» (вместе с «Положением о лицензировании образовательной деятельности») (см. к примеру здесь: https://legalacts.ru/doc/posta...).

А причины просрочки?

Здесь или административный иск в порядке ст.ст.218-223 КАС РФ или подавать на получение уже как новой лицензии.