Там выдали заявление на увольнение, где написано "прошу предоставить мне отпуск без сохранения заработной платы" Законно ли это?

Добрый вечер! Действия работодателя незаконны и противоречат Трудовому кодексу РФ. Если у Вас есть подтверждение того, что Вы передали заявление об увольнении, то по истечении 14 дней Вас обязаны рассчитать и выдать трудовую книжку. Если подтверждения нет — советую направить заявление ценным письмом с описью. Заставить Вас работать или принуждать написать заявление на отпуск никто не имеет права. 
Подписи администратора или иной  согласовательной процедуры при увольнении законодательством не предусмотрено.
 За защитой своих прав Вы можете обратиться с жалобой в трудовую инспекцию и прокуратуру. 

Запрет принудительного труда установлен: Всеобщей Декларацией прав человека, статьи 4, 23 (10 декабря 1948 года). Международным пактом о гражданских и политических правах, статья 8 (16 декабря 1966 г.), ст.4 ТК РФ. 
Статья 80 ТК РФ. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.