И как должен происходить этот процесс, в чьём то присутствии?

Добрый день Галина.

Я верно понял, что вам принадлежит по договору дарения квартира, а также в другой квартире (или доме) находится движимое имущества, которое вы получили по завещанию. А в квартире проживают другие наследники.

Уведомления как такового не нужно.

ГК РФ Статья 574. Форма договора дарения

1. Дарение, сопровождаемое передачей дара одаряемому, может быть совершено устно, за исключением случаев, предусмотренных пунктами 2 и 3 настоящей статьи.

Передача дара осуществляется посредством его вручения, символической передачи (вручение ключей и т.п.) либо вручения правоустанавливающих документов.

2. Договор дарения движимого имущества должен быть совершен в письменной форме в случаях, когда:

дарителем является юридическое лицо и стоимость дара превышает три тысячи рублей

договор содержит обещание дарения в будущем.

3. Договор дарения недвижимого имущества подлежит государственной регистрации.

Вам просто нужно иметь на руках завещание, в котором сказано, что из движимого имущества вам принадлежит.

Лучше, чтоб все происходило в присутствие остальных наследников. И лучше всего составить например акт, в котором будет отражено, что вы забрали. И подписи ваши и других наследников.

Если возникнет спор, то следует пояснить, что вам данное недвижимое имущество принадлежит на основании завещания и в случаи препятствий, вы будете вынуждены обратиться в суд Кроме того, укажите в иске требования о компенсации иных понесенных расходов.

Законом конкретная форма уведомления не предусмотрена. Можете отправить наследнику заказное письмо с уведомлением о вручении и  описью вложения, что просите в такой то период вещим забрать. Если знаете эл.почту и телефон, то в электронном виде также. Можете указать что иначе вынуждены будете вещи утилизировать. 

Наследник же должен подтвердить что именно он наследник на эти вещи, т.е. представить от нотариуса свидетельство о праве на наследство.  Его выдают по истечении 6 месяцев со дня смерти наследодателя. Будет забирать вещи можете кого-то позвать из свидетелей — знакомых или соседей. Можете этот процесс записать на видео.     

Статья 1119. Свобода завещания

1. Завещатель вправе по своему усмотрению завещать имущество любым лицам, любым образом определить доли наследников в наследстве, лишить наследства одного, нескольких или всех наследников по закону, не указывая причин такого лишения, а в случаях, предусмотренных настоящим Кодексом, включить в завещание иные распоряжения. Завещатель вправе отменить или изменить совершенное завещание в соответствии с правилами статьи 1130 настоящего Кодекса.