Имеет ли право на это работодатель?

Здравствуйте, Максим!

Сообщаю Вам, что в трудовом договоре должна быть прописана Ваша должность. Тогда, в соответствии со ст. 72 Трудового кодекса РФ изменение определенных сторонами условий трудового договора, в том числе перевод на другую работу, допускается только по соглашению сторон трудового договора. Соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора заключается в письменной форме.  
То есть, чтобы изменить Вам должность работодателю необходимо заключить с Вами соглашение об изменении определенных сторонами условий трудового договора письменной форме. В той ситуации, которую Вы описали, работодатель на это не имел прав.
Если Вы желаете получить более подробную консультацию по данному вопросу, либо у Вас имеется другой вопрос в области трудового права, то можете обратиться ко мне в чат. Услуги в чате оказываются на платной основе.
С уважением, Владимир!