Добрый вечер.
Подпись в актовой записи она должна поставить лично, по доверенности поставить ее не представляется возможным.
В силу приказа Минюста России от 28.12.2018 N 307
«Об утверждении Административного регламента предоставления государственной услуги по государственной регистрации актов гражданского состояния органами, осуществляющими государственную регистрацию актов гражданского состояния на территории Российской Федерации»
77.30. Запись акта о перемене имени на бумажном носителе прочитывается и подписывается заявителем, руководителем органа, предоставляющего государственную услугу, или уполномоченным им работником органа, предоставляющего государственную услугу, и скрепляется оттиском печати органа, предоставляющего государственную услугу.
Подписание данной записи от имени заявителя на основании доверенности не допускается.
И далее
77.40. Специалист выдает заявителю при государственной регистрации перемены имени свидетельство о перемене имени, подписанное руководителем органа, предоставляющего государственную услугу, или уполномоченным им работником органа, предоставляющего государственную услугу, скрепленное оттиском печати органа, предоставляющего государственную услугу.
77.41. При получении свидетельства о перемене имени заявитель прочитывает свидетельство и расписывается в журнале учета выдачи свидетельств о перемене имени. Подпись заявителя должна совпадать с его фамилией до перемены имени.
Специалист выдает свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния заявителю.